Propriétés du cosinus et du sinus

Propriété

Pour tout nombre réel  \(x\) , pour tout entier relatif  \(k\) on a :

• \(\cos(x+2k\pi)=\cos(x)\)  et  \(\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\)
  
• \(\text{cos}(-x)=\text{cos}(x)\) et \(\text{sin}(-x)=-\text{sin}(x)\)
  

Démonstration

On considère les points \(\text{M}\) et \(\text{M'}\) images respectivement de \(x\) et de  \(-x\)   par l'enroulement de la tangente au cercle trigonométrique en \(\text I\) .

• Pour tout entier relatif \(k\) , \(\text{M}\) est aussi l'image du réel \(y=x+2k\pi\) car  \(y-x\) est un multiple de  \(2\pi\) . \(\text{cos}(x)\)  et   \(\text{sin}(x)\) étant les coordonnées de \(\text{M}\) , on en déduit immédiatement : \(\cos(x+2k\pi)=\cos(x)\)  et  \(\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\) .
  
• Les points   \(\text{M}\)  et  \(\text{M}'\)  sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. En effet, par enroulement,  \(\stackrel\frown{\text{IM}}=\stackrel\frown{\text{IM'}}\) puis \(\text{IM}=\text{IM'}\) ce qui permet d'affirmer que le triangle \(\text{MIM'}\) est isocèle et \(\text I\) , par conséquent,  \(\text I\) est sur la médiatrice de \([\text{MM'}]\) . De plus,  \(\text{OM}=\text{OM'}\) par définition du cercle trigonométrique, ainsi  \(\text{O}\) est sur la médiatrice de \([\text{MM'}]\) qui est, donc, la droite  \((\text{OI})\) soit l'axe des abscisses. On en déduit que les abscisses de \(\text{M}\)  et  \(\text{M}'\)  sont identiques et que leurs ordonnées sont opposées. Ainsi, pour tout réel  \(x\) ,  \(\cos⁡(-x)=\cos(x) \text{ et } \sin(-x)=-\sin⁡(x)\) .
  

 Exemples

• \(\cos(\dfrac{7π}{3}) = \cos(\dfrac{π}{3}+2π) = \cos(\dfrac{π}{3}) =\dfrac{1}{2}\)
  
• \(\cos(-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  
• \(\sin(\dfrac{-33π}{4}) = \sin(-\dfrac{π}{4}-8π) =\sin(-\dfrac{π}{4}) =-\sin(\dfrac{π}{4})= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)